小学及初中分班奥数笔记 1-1：简便计算

海芝戀

Hello 大家好，I am Copcin，一个喜欢 IT（IT 这两字离题了啊，今天我们聊数学）的初一生。这应该是我的第一篇数学博客。8 月末初中分班考就要开始了，分班考它的意义不仅仅是分班，还让我们的暑假过的更加的充实，嗯，没错，《充实》。借这个机会把小学奥数的芝士点整理一下，供需要的人使用，毕竟分班考要考 20% 的呀~
本系列芝士点来自《小学奥数举一反三 AB 版（六年级）》，尽量不照本宣科，文中也会插入一些自己的理解和纯手打的思维导图~
1. 开始之前

这个笔记分为五个部分：计算（就是这篇），几何，数论，问题解决，问题解决-行程问题。其中由于问题解决板块下的行程问题内容又多又复杂，故独立一个部分，所以就变成五个部分了~


阅读该笔记，4 年级的基础数学（就是课本上那个）是必要的，如果你觉得你的 CPU（脑子）速度快可以提前学~
2. 简便计算

2.1 简便计算芝士点

废话不多说我们进入正题。简便运算，简称简算。简单点来说，简算就是通过一系列的运算律与运算法则，把较复杂的算式化繁为简。在进行简算之前，有一些运算法则我们必须要知道，下面贴出来：

加法交换律：a + b = b + a
举个例子：2 + 3 = 3 + 2

加法结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )
举个例子：( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 )

四则运算法则 1：当整个算式里（或整个括号里）只有 + - 法时，数字可以带符号移位。带符号，带符号，带符号！重要的事情说三遍。
举个例子：10 + 16 - 8 + 7 = 10 - 8 + 16 + 7
再举个例子：3 × ( 10 + 8 - 2 ) = 3 × ( 10 - 2 + 8)

乘法交换律：a × b = b × a
举个例子：3 × 5 = 5 × 3

乘法结合律：( a × b ) × c = a × ( b × c )
举个例子：( 3 × 4 ) × 5 = 3 × ( 4 × 5 )

乘法分配律：a × c + b × c = ( a + b ) × c
举个栗子：3 × 5 + 4 × 5 = ( 3 + 4 ) × 5

除法的基本性质（不要问我为什么不叫除法分配律，你问我我问谁啊）：a ÷ c + b ÷ c = ( a + b ) ÷ c
举个例子：3 ÷ 7 + 4 ÷ 7 = ( 3 + 4 ) ÷ 7
注意这个公式两个除法算式一定要是除数相同被除数不相同，如果除数不相同就不能使用。

四则运算法则 2：当整个算式里（或整个括号里）只有 × ÷ 法时，数字可以带符号移位。带符号，带符号，带符号！重要的事情说三遍。
例子：32 × 5 ÷ 8 = 32 5 ÷ 8 × 5
3 + ( 32 × 5 ÷ 8 ) = 3 + ( 32 5 ÷ 8 × 5 )

添去括号法则：当整个算式里（或整个括号里）只有 + - 法或只有 × ÷ 法时，括号前面是 + × 号的可以随意添去括号，其中括号头要在运算符号后面；括号前面是 - ÷ 号的在添去括号后要将括号里所有的运算符变号（加变减，减变加；乘变除，除变乘）
前面那个法则简称：括号前面是 - ÷，添去括号要变号。上面那段如果看着很晕直接记这个口诀。
来个栗子：3 + 5 - 7 + 4 = 3 + ( 5 - 7 + 4 )
3 - 2 + 10 - 8 + 16 = 3 - ( 2 - 10 + 8 - 16 )
4 + ( 3 ÷ 5 × 7 ) = 4 + [ 3 ÷ ( 5 ÷ 7 ) ]

积不变，商不变的规律：
积不变：a × b，a 扩大（缩小）几倍，b 也同时相反着缩小（扩大）几倍，积不变。
例子：3 × 5 = ( 3 × 500 ) × ( 5 ÷ 500 )
商不变：a ÷ b，a 和 b 同时扩大（缩小）几倍，商不变，余数也同时扩大（缩小）几倍。
例子：27 ÷ 5 = 5 …… 2，( 27 × 10 ) ÷ ( 5 × 10 )  = 5 …… 20 ( 2 × 10 )
还有，涉及到积不变商不变的算式，分数建议化为小数，更便于简算。

叠数原理：看见一个数由多个一样的部分组成，就把它拆成 a × b 的形式。a 的内容是一个循环节（如 153153153 取一个循环节是 153）。b 的内容有点复杂，循环节有 x 位就写 1 后面加 ( x - 1 ) 个 0，有几个循环节就写几遍，最后把数字倒过来（比如 123 倒过来是 321，100100100 倒过来就是 001001001），如果数字前面有 0 的把 0 去掉。
虽然说着很复杂，但练习几遍就会得心应手~
例子：153153153 = 153 × 1001001

分数乘法的性质：两个分数相乘，分子可以互换，分母可以互换~
( 这里我们定一个公约：由于电脑分数不好打，用 a / b 表示分数，a 是分子，/ 是分数线，b 是分母）
例子：3 / 7 × 4 / 9 = 4 / 7 × 3 / 9
4 / 5 × 8 / 9 = 4 / 9 × 8 / 5

就这么亿点，什么先乘除后加减如果还不会建议先复习一下你的 1 ~ 3 年级课本~

我想上面这些你看了肯定会晕（什么？不会？学霸实锤了）。不过即使再晕也是要把它们 b è i 下来的，毕竟上面是地基。当然不是你把它们 bèi 下来就能做题的，上面只是简算的工具，这些工具到底该怎么用还是取决于你们自己。那如何恰当地使用它们呢？这时候就需要你的眼睛不要近视学会观察算式。
观察什么呢？下面贴出来。

1 观察整数
这里的整数不是指 1 2 3 4 这些，而是指整一数（两个数相加 or 相减能凑成 1 的数，后面的都一样）整十数，整百数，整千数，整万数……这些整数不可能直接给你出出来，而是隐藏在算式中的方方面面，比如：
这样的：2.84 + 1.68 + 7.16 - 0.68
这样的：3.27 × 5 + 6.73 × 5
和这样的：3 / 7 + 1 / 5 + 4 / 7
上面给出粗体或者斜体的这些数字（都是成对的），都可以通过分配律组合到一起，再使用加减乘除得出整数，大大减少了我们的运算时间。

2 观察 25 125
两个连各国总统都无法反驳的公理：1 + 1 = 2 25 × 4 = 100 125 × 8 = 1000
不仅如此 25 和 125 的直系亲属（爷爷爸爸自己儿子孙子等等等等），如 2.5，0.125，250（这个数字有魔力），12.5…… 它们都算在 25 和 125 的范畴之内。只不过计算的时候需要注意小数点。
培养一个习惯：看见 25 就找 4，看见 125 就找 8，什么都不要管，即使是让数字妻离子散（如把 32 拆成 4 × 8）都不要管。
下面举几个热 fu fu 的栗子：
2.5 × 32（拆成 4 × 8）× 1250
4 × 23 + 4 × 2 ( 23 和 2 乘法分配律得到 25 )
25 × 3 + 25 ( 把后一个 25 转化为 25 × 1，再使用乘法分配律得到 4 )

3 观察有倍数关系的数字
有的时候乘法分配律，它没有直接给你两个相同的数（当然高年级但凡有一点点水平的出题人都会这样出），而是给了你两个有倍数关系的数。这时候就需要使用积不变的规律把两个有倍数关系的数转化为两个相同的数，举个例子：
333387 / 1 / 2 ( 由于电脑分数不好打，我们定一个公约：c / a / b 表示带分数，c 表示带分数的整数部分，a / b 表示带分数的分数部分） × 79 + 790 × 66661 / 1 / 4（先将分数化小数，然后 790 用积不变变成 79，同时66661.25 要化为 666612.5）
（上面的题目来自举一反三 A 版第 2 周王牌例题 2）

废话不多说，我们把上面那些例题全干了！（诶哟，好怕怕呦.jpg）
2.2 小试杀猪刀

童鞋们可以先做一下，下面是答案~
  2.84 + 1.68 + 7.16 - 0.68
= 2.84 + 7.16 + ( 1.68 - 0.68 )    # 四则运算法则 1, 添去括号法则
= 10 + 1
= 11
​
  3.27 × 5 + 6.73 × 5
= ( 3.27 + 6.73 ) × 5              # 乘法分配律，凑整
= 10 × 5
= 50
​
  3 / 7 + 1 / 5 + 4 / 7
= 3 / 7 + 4 / 7 + 1 / 5            # 乘法交换律，凑整
= 1 + 1 / 5
= 1 / 1 / 5
​
  2.5 × 32 × 1250
= ( 2.5 × 4 ) × ( 8 × 1250 )       # 把 32 拆分成 4 × 8
= 10 × 10000
= 100000
​
  4 × 23 + 4 × 2
= 4 × ( 23 + 2 )                   # 乘法分配律得到 25
= 4 × 25
= 100
​
  25 × 3 + 25
= 25 × 3 + 25 × 1                  # 把 25 转化为 25 × 1
= 25 × ( 3 + 1 )                   # 乘法分配律得到 4
= 25 × 4
= 100
​
  333387 / 1 / 2 × 79 + 790 × 66661 / 1 / 4
                                   # F. 举一反三 A 版第 2 周王牌例题 2
= 333387.5 × 79 + 790 × 66661.25   # 分数化小数
= 333387.5 × 79 + 79 × 666612.5    # 积不变的规律
= ( 333387.5 + 666612.5 ) × 79     # 乘法分配律
= 1000000 × 79
= 79000000当然我们的题目肯定不止这些嘛（啊哈哈哈，鸡汤来喽.jpg）
下面是我从举一反三 A 版中选出来的几道题，灰常有代表性~
题 1：3 / 3 / 5 × 25 / 2 / 5 + 37.9 × 6 / 2 / 5
（ F. 举一反三 A 版第 2 周王牌例题 4 ）
# 解析
​
# 首先，碰到这种分小（分数和小数）混杂的，把分数全部化成小数。
原式 = 3.6 × 25.4 + 37.9 × 6.4
# 是不是感觉清爽多了~
​
# 聪明的同学一定发现了 3.6 和 6.4 可以凑成 10，但另外两个数又偏偏风马牛不相及（什么？你说 37.9 是 25.4 的 1.492125984251969 倍？我不扶墙，就服你）。这时候，我们可以给 37.9 来个身首分离（拆）。用乘法分配律把它们拆出来再进行下一步运算~
    = 3.6 × 25.4 + ( 25.4 + 12.5 ) × 6.4
    = 3.6 × 25.4 + 25.4 × 6.4 + 12.5 × 6.4
   
# 把前面两个算式稍微处理一下~
    = ( 3.6 + 6.4 ) × 25.4 + 12.5 × 6.4
    = 10 × 25.4 + 12.5 × 6.4
    = 254 + 12.5 × 6.4
​
# 聪明的童鞋一定又发现了 125 的儿子 12.5。前面说过看见 125 就要不惜一切代价找到 8。正好后面的 6.4 = 8 × 0.8，再给它做个腰斩~
    = 254 + 12.5 × 8 × 0.8
   
# 最后 Get 结果！
    = 254 + 100 × 0.8
    = 254 + 80
    = 334
​题 2：9 + 99 + 999 + 9999 + 99999
（ 四年级举一反三 A 版前来串门啦 ）
# 解析
​
# 这道题比较简单，也比较不会考~
# 把所有的算式拆成 (“整数”-1 ) 的形式，这里的整数指整十数整百数这些~
原式 = ( 10 - 1 ) + ( 100 - 1 ) + ( 1000 - 1 ) + ( 10000 - 1 ) + ( 100000 - 1 )
​
# 削个皮（去括号）
    = 10 - 1 + 100 - 1 + 1000 - 1 + 10000 - 1 + 100000 - 1
   
# 用四则运算法则 1 和添括号把算式整理一下，记住移动时一定要带符号~
    = 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1
    = ( 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 ) - ( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 )
    = 111110 - 5
   
# Get 结果！
    = 111105别急，还有两题~
题 3： 5 / 6 × 1 / 13 + 5 / 9 × 2 / 13 + 5 / 18 × 6 / 13
（ F. 举一反三 A 版第 4 周王牌例题 4 ）
# 解析
​
# 这道题初看没有什么规律，但我们如果使用分数乘法的性质将这题里所有乘法算式的分子互换一下，你会发现惊喜~
原式 = 1 / 6 × 5 / 13 + 2 / 9 × 5 / 13 + 6 / 18 × 5 / 13
​
# 然后就简单了。乘法分配律一下~
    = ( 1 / 6 + 2 / 9 + 6 / 18 ) × 5 / 13
    = 13 / 18 × 5 / 13
    = 5 / 18题 4：3333 × 3334 + 9999 × 2222
（ 如果我说这也是来自举一反三 A 版的，但忘了是哪一题，你信吗）
# 解析
​
# 相信这道题成为了很多同学在 100 分路上的拦路虎，毕竟笔者就曾经因为这道题而丢失 3 分，错失 100(T_T)
# 上面那位凡尔赛的同学给我下来，你命不要了是吧
# 好吧，这道题确实不是出自举一反三的，它就是我当年期末考的真题。聪明的同学肯定一眼就看到了 3333 和 9999 是倍数关系。好的，我们把 9999 上的 3 “嫁接”（积不变）到 2222 身上。
原式 = 3333 × 3334 + ( 9999 ÷ 3 ) × ( 2222 × 3 )
    = 3333 × 3334 + 3333 × 6666
   
# 然后就简单了
    = 3333 × ( 3334 + 6666 )
    = 3333 × 10000
    = 33330000
   
# PS：我就喜欢这种大道至简的题目
# PPS：楼上那位也太中二了把2.3 裂项

除了上面这些简便方法，我们针对分数还有一种特殊的简算方法：裂项法。它的几个基本公式我贴在下面：
裂差：



裂差 Plus：




裂和 1：




裂和 2（不要问我为什么不叫裂和 Plus）：




好了就上面这些。通过上面这些奇奇怪怪的公式我们可以进行一些奇奇怪怪的操作。
比如这样：



（别问我这次为什么又打出分数了，你知道我打出这串打了多久吗？5分钟！用了 20 多个 /frac{}{} + 截图啊！墓前情绪非常稳定）
上真题！
题 1（F. 举一反三 A 版第 5 周例 2） ：

解析

看到上面的算式，聪明的同学一定一秒钟就把它和裂差公式对应了起来，把算式们稍微转化一下，再浅浅使用一下乘法分配律就可以得到下面的算式：

（不是我不想打详细点，再打详细一点我就真的要逝了）
然后无痕去括号，相互抵消变成下面这样：

接下来就不用我多说了把：

题 2（没错，它是举一反三的远房亲戚）

解析

看到上面的算式，聪明的同学一定一秒钟就懵了：" ？这和裂项有关系吗？" 其实，它不仅和裂项有关系，而且解法超级简单。
这道题表面上没有什么规律，但当你把每个分数缩小 1/2 就会发现一个惊喜（如下图）

这不就是最经典的裂项题目吗？

=

2.4 拆带分数

除了上面所说的方法，分数还有一种特殊且冷门的简算方法：拆带分数。请注意，是拆 带分数，不是拆带 分数哦~ 这个题型一般出现在拉分题~
由于它根本没有公式，所以我们直接从真题中寻找公式~
题 1（F. 举一反三 A 版第 4 周例 2 练习 4）

解析

拆带分数，最重要的是拆。这种题型我们要找到与另一个乘数匹配的分数，然后，拆！
如果上面听不懂的看实例。看到 3/4，你想到了什么？估计没有人会想到它的倒数 4/3。但是这道题它真就需要一个 4/3。下面拆了它：

是不是感觉这道题瞬间就变成了纸老虎~

其实拆带分数的题型，由于主要出现在拉分题，题型非常灵活。但是我们只有抓住它的重点：找到与另一个乘数匹配的分数，比如倒数，找到之后，拆就完事了！
简便计算完结撒花~
最后，分享一张我从星火教育走私出来的真题，很有难度（本图片仅供学习，禁止商业使用，因为我想过审啊）：

應之

向楼主学习